夏天轉眼就過了,冬天特別漫長?


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季節流逝的速度是固定的嗎?

夕陽無限好,只是近黃昏?

學生時期常常會覺得「轉眼之間夏天就過了」。除了心理因素之外,從科學上來說,某些季節有可能過得特別快嗎?季節之間最顯著的差異之一就是日照時間。如果以日照時間長度來衡量季節的變化,季節確實忽快忽慢。事實上,夏天過得特別慢!圖一顯示2018年台北日照長度的變化,日照長對應到夏天,反之則是冬天。變化大約呈現正弦波形式 (sinusoidal wave) ,在冬天和夏天日照變化特別慢,春天和秋天特別快。

圖一、一年內日照時間長度的變化。圖中紅點是每週平均的日照長度,藍線是理論預測。

日照的變化是天文學基本的問題,已經有許多的人研究過,甚至在數學上還有「日出方程式(sunrise equation)」來解釋這個問題。以下簡短地為這個方程式作介紹。如圖二,太陽在不同的季節走不同的軌跡,計算日照時間因此可以視為一個幾何問題。圖中P是地面的向量,和所在地緯度與一天內的時間有關;S是太陽得傾角,和日期有關。透過適當的坐標系選擇,PS可以寫為圖中的向量形式。在日出和日落的時候,PS有以下關係:

P \cdot S = 0

圖中只有日落的S0符合這個條件,其他S1S2都不符合。將PS的向量形式代入上述等式,整理之後可以得到:

\cos t = \tan \lambda \tan \delta

這就是鼎鼎大名的「日出方程式」,其中λ是緯度,t是一天中的時間,δ是隨日期變化的太陽傾角。此方程式通常有兩個解,分別代表當天的日出和日落時間,兩者差值即是日照時間長度。如果方程式沒有解,代表永晝或是永夜。將台北的緯度λ=25.03°代入,即得到圖一中藍線,和實際日照長度吻合。這個解和正弦波有87分像。儘管沒有直接關係,正弦波是日照變化很好的一個近似。

圖二、太陽的軌跡。其中λ是緯度,δ是太陽傾角,t是一天中的時間。(改自參考資料)

利用這個方程式,我們還能得到世界各地的日照長度變化(圖三)。在赤道附近基本上沒有太多改變,而在極地附近則是永晝和永夜互相交替。從等高線的密度可以看出在春天和秋天交界之際日照變化特別快速,尤其是高緯度地區特別明顯。在挪威北部,在永晝和永夜交替時期,相鄰兩天的日照長度差異可以高達2個小時。在台灣,日照長度變化最高大約是1.5分鐘。

圖三、北半球各個緯度的日照時間長度變化。等高線單位為小時。暖色代表日照時間長,冷色代表時間短。

參考資料

  • Cary Sneider et al., Learning about Seasons: A Guide for Teachers and Curriculum Developers, Astronomy Education Review 10(1) (2011)

本文由讀者投稿提供。作者陳奕廷為台大物理系學士,現就讀史丹佛大學應用物理系博士班。對各領域的科學都非常好奇,歡迎互相交流。


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三月 19th, 2019 by