要幫所有的地圖上色,需要幾種顏色?


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現在出外旅行常用 Google Map、Bing Map等線上地圖,不再流行攜帶紙本地圖,在過去線上地圖還不發達的年代(其實也沒有多久,至少十年前吧),印製成一本本一張張的紙本地圖仍是人們外出旅行最重要的工具之一。不過製作地圖一直以來都是件嚴肅的大事,要如何在地圖失真程度最小的情況下精確表現出真實地貌,必須巧妙運用測量、印刷等技術,才能大量製作出精準、實用的地圖。

事實上,僅僅是「地圖如何上色」這個看似簡單的事,在數學史上就是個超過百年的研究命題。您可曾想過,像世界地圖這樣由大小、形狀不一許多國家組成的範圍,究竟要用多少顏色,才足夠區分每個國家,而不會有鄰國同色的困擾?

 

其實答案意外的簡單,是 4 個。

是的,即使再怎麼複雜的地圖,也只要 4 個顏色就能保證塗好塗滿不會撞色。

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就算是再複雜的地圖,也只要四種顏色:綠、藍、紅、黃就可以完成!

 

這個「四色定理」原本只是個猜想,在 1852 年由英國業餘數學家弗朗西斯.格斯里提出,某一天閒來無事的下午,當他拿起色筆要將一份英國的分郡地圖著色,突然想到:『如果要將所有想像得到的地圖著色,而且每一個有共同鄰邊的區域都不同色的話,最多需要幾種顏色呢?』

當然,當他使用色筆畫完地圖之後就可以發現只需要四種就可以完成,但是這問題一直無法找到嚴謹的數學證明。

 

這個問題流傳到數學界,許多數學家深入地思考與嘗試之後,發現找得到的例子裡,都只需要四種顏色就可以了!但是,這不夠,必須找出一種嚴謹的數學證明,可以涵蓋任何地圖才行。

到了1879年,當時英國的數學家肯普提出一份論文,似乎證明了這個『四色猜想』,而大家也都以為這個問題已經解決了。沒想到十一年後的1890年,數學家希伍德找出了肯普的錯誤,推翻了他的證明。但是希伍德自己卻證明出『五色定理』,也就是說最多不會超過五種顏色!

 

還好,電腦的出現,讓這個複雜的數學問題得到救贖!1976年,數學家凱尼斯·阿佩爾沃夫罔·哈肯借助當時最先進的三台大型電腦,總共花了1,200小時的計算,終於首次得到一個完全的證明,四色問題也終於成為四色定理。

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下次當你看到地圖時,可別忘記隱含在這些不起眼地圖上的大大學問喔!

 

參考資料:維基百科:四色定理

[Miss Monday]


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三月 21st, 2016 by