如何用一把15公分長的冷尺量地球到月球的距離?


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引言:

各位讀者不知道還記不記得,在今年4月1日的時候我們曾經騙了大家,說每日一冷要出書了。雖然這只是個愚人節玩笑,但是讀者們的溫暖留言卻是如此真心騙不了人。為了答謝大家的支持,每日一冷推出了史上第一個實體紀念品:冷尺。

為了答謝讀者的支持,每日一冷推出的第一個實體紀念品:一把可以測量溫度(?)的尺,簡稱冷尺

為了答謝讀者的支持,每日一冷推出的第一個實體紀念品:一把可以測量溫度(?)的尺,簡稱冷尺

原本設計這個紀念品本來只是要開某新聞台記者的玩笑,想不到其中一位抽中冷尺的讀者卻做了一件大家都意想不到的事情......以下是讀者飯糰鬼的投稿:

如何用一把15公分長的冷尺量測月球的距離?

當我們舉頭望明月時可曾想過,這顆又圓又大的盤子到底距離我們多遠?

你有想過嫦娥和玉兔平時有多孤單寂寞覺的冷嗎? 沒有,因為你只想到你自己……. (誤)

你有想過嫦娥和玉兔平時有多孤單寂寞覺的冷嗎?
沒有,因為你只想到你自己……. (誤)

古希臘的數學家/天文學家希巴谷斯 (Hipparkhos, 190 BC.-120 BC.) 只使用了一枚硬幣跟一隻尺,便簡單解決了這個問題。

簡單來說,他就只是用了國中生都應該要會算的相似三角形概念而已。

讓我們來複習一下相似三角形……

相似三角形

簡單來說當角度為定值的兩個一大一小三角形,小三角形以綠色表示,大三角形以紅色表示, 角的對邊與底邊將始終維持固定比例,也就是

螢幕截圖 2015-10-27 23.15.43

 

希巴古斯當年的作法是… 調整硬幣與人之間的距離( ),調整至硬幣看起來的視直徑與月球視直徑一樣大時,紀錄下硬幣與人之間的距離 ,利用已知的月球直徑  與硬幣直徑 ,便可以求得月球的距離 了!

等等這不科學呀!怎麼知道月球直徑  的?這又是開了什麼大絕!

原來在希巴谷斯之前,便已有許多學者致力鑽研於地球與月球大小,是的不用懷疑!遠在古希臘時代便已有許多學者認為地球是圓形的!舉凡畢達哥拉斯(Pythagoras, ~580 BC. -~500 BC.)、阿里斯塔克斯(Aristarchus, 310 BC.-230 BC.)皆屬相信地球是圓形的學派!甚至阿里斯塔克斯還曾經試圖量測地日距離!他也是第一位提出日心說模型的學者。

希巴谷斯便是踩著前人累積的智慧前進,阿里斯塔克斯利用月食的地球陰影大小推算出地球應當是月球的三倍大,而埃拉托塞尼(Eratosthenes, 276 BC. – 194 BC.)利用同經度兩地點夏至時的太陽天頂角與兩地距離反推測出地球圓周長約 公里,藉由這兩位前輩的努力,希巴古斯便得以算出的月球直徑  ,再藉以算出地月距離   約為 公里。

已知目前的地月距離在 公里間浮動,因此可推算希巴谷斯當年測出月球距離的誤差應是在28~36%之間。

………………這誤差看起來根本大到不能接受呀……………

聽起來好像很簡單,不如就讓我們仿效希巴谷斯,以一把15.9公分的冷冷尺量測月球的距離吧!

僅以一把冷冷尺獻上對希巴谷斯的濃濃敬意

僅以一把冷冷尺獻上對希巴谷斯的濃濃敬意

想不到一開始就遭遇了大麻煩!對!沒錯!明眼人都看得出來的大麻煩!不要提醒我冷冷尺尺面沒有完全垂直於鏡頭方向這件事!我量到的冷尺長度只會是實際冷尺長度乘上投影角度的結果!

沒辦法這是缺乏良好觀測地點及觀測小天使(?!)幫忙下倉促成行的結果,月球升起的速度比記憶中快上不少,若無法即時將影像擷取下來,冷尺與月球將難以被呈現在同一幅視野當中,我與冷尺的距離一定要拉到越遠越好才行!否則將會面臨到一個讓人崩潰的問題。

螢幕截圖 2015-10-27 23.52.21

Houston, We have a problem!!!!!!!

嗯,對!我還是崩潰了……看出崩潰點了嗎?

景深!就是景深!那個以前老鏡頭才有的景深尺!現在鏡頭都拿掉了這東西!但卻不代表現代鏡頭可以不用考慮他的存在!

簡單來說就是冷冷尺與月球不在類似的距離上,造成”對焦註一時的焦點不同,因此遠方的月球與近的冷尺焦點差太多!無法在同一幅影像中都呈現清楚!當然!現經,縮光圈可以改善這個問題,但我已經縮到f/36去了……. Orz…

相信明眼人應該也看得出來,當月球清楚時冷尺是模糊的,冷尺清楚時換月球是模糊的,而且因為兩幅影像的焦距(像距)不同,因此應可明顯發現月球(或冷尺)的大小在兩幅影像中是不一樣的!這將會造成測量時不小的量測誤差!

最後的量測結果,當月球是清楚時,冷尺輪廓的不確定性造成了約±76 pixel的冷尺總長度誤差。這部份的偏差量或許可藉由更小的感光元件片幅,更小的光圈(是要縮到什麼地方去)與冷尺間更長的距離來嘗試降低景深的影響。

 

用以量測冷尺和月球比例的影像,使用兩幅不同時間拍攝的影像疊合,用以標示月球移動方向。

用以量測冷尺和月球比例的影像,使用兩幅不同時間拍攝的影像疊合,用以標示月球移動方向。

再來就是量測月球的視直徑了,直接對月球的兩端點量測,得出兩顆月亮平均的直徑約為657.57 pixel。

螢幕截圖 2015-10-27 23.19.13

再來就是試圖量測冷尺的視直徑了,因為我沒把冷尺調整成跟月面視直徑一樣寬,因此需要量測他在畫面中所站的角度是多少,再去和月面視直徑做比較。由於輪廓是模糊的,所以只能取能區分的到的最大與最小邊緣平均值,因此最後將冷尺在畫面中所占的視角視為1591pixel。

螢幕截圖 2015-10-27 23.19.23

綜合以上,可知 月球視直徑/冷尺視角 間的比值為 ,也就是冷尺放在現在這位置上時,它長度的 倍正好與月球視直徑相等。

再來還需要量測冷尺的距離,我們在此有請最近意外捲入福斯髒柴油風雲註二的BOSCH大神出馬!經過量測拍攝點與冷尺間的距離是 公尺。

綜合以上,可知 間的比值為0.413,也就是冷尺放在現在這位置上時,它長度的0.413倍正好與月球視直徑相等。 再來還需要量測冷尺的距離,我們在此有請最近意外捲入福斯髒柴油風雲*(註二)的BOSCH大神出馬!經過量測拍攝點與冷尺間的距離是8.114公尺。

沒良心的飯糰鬼你用的是什麼妖術?!!!! 我沒印象希巴谷斯有用過這東西呀!!!!

再來便是要仿效阿里斯塔克斯在兩千多年前所作的量測,我需要地球的影子,於是便召喚月全食的出現(誤)

 

我在古老的照片資料夾中召喚出2007年8月28日的月全食影像,對著月球及地球陰影嘗試畫大圓,找出所對應的大園直徑比例。經由量測,地球陰影的大小與月球直徑間的比例關係應為2.4:1,月球直徑在此有被高估註三

螢幕截圖 2015-10-27 23.20.04

而地球圓周長埃拉托塞尼當年的量測結果是 公里,現代量測值則是 公里。可推算出月球直徑應為 公里,若修正太陽光非平行光入射的問題後,月球直徑則是 公里。

綜合以上資訊,月球直徑為 公里(暫沿用古希臘的觀測方式),冷尺與相機距離為 公尺,冷尺長度為 公尺,冷尺長度的 倍即為 公尺,經過相似三角形的計算後地月距離為 公里,與拍攝當時的實際地月距離 公里相比,距離短少了 公里,約12.1%的誤差。

崩潰啦!!! 古希臘人測出來的結果(誤差在28%~36%間)竟然與我動用這麼多高科技(?!)設備的測量結果差不了太多,這到底是古希臘人太強大或者是本魯我太廢?!!!!

現在的地月距離的量測則是直接使用雷射測距儀進行測量,因此可獲得非常精確的地月距離,對!你沒看錯,就是使用那妖術般的雷射測距儀,只要對準阿波羅計畫時裝置在月球上的雷射全反射器,便可精確獲得地月間的距離!(註4)

 

後記

雖然說距離量測看似容易,但若引入修正陽光非平行光的地球陰影大小後,地月距離便成為 公里,誤差達到35%.......這根本已經是悲劇般的誤差了!

於是便開始重新檢視原始影像,結果發現驚人問題………

查詢美國海軍天文台的資料,搭配當時的拍攝地點,在拍攝當月球的當下,月球的視直徑應當有 度才對,但若使用視野中的冷尺長度與拍攝距離換算,月球的視直徑竟然只剩 度!而改用已知感光元件大小及鏡頭焦距長度的方式換算,月面視直徑仍只有 度!無論使用何種方式換算,似乎月球的視直徑大小都較實際值小了一號!

這下不妙呀!我是不是應該把以前的太陽一顆顆挖出來重量過大小…… (抖)。

註解

註一:你對的「焦距」並不是「焦距」

「焦距」是指當物體無窮遠時,平行光線通過透鏡後,由鏡心起算至後方匯聚點的距離,每片透鏡在研磨好時焦距已經被決定,無法再改變(除非你有辦法凹折鏡片 XD)

螢幕截圖 2015-10-28 00.07.16

而我們平時在使用相機時調整的實際上是「像距」,像距只有當物體是無線遠時會與「焦距」落於相同的位置上。因為大部分的物體都不在無限遠位置,因此每次拍照時都會需要調整像距的位置。

註二:BOSCH與福斯髒柴油風雲

簡單來說福斯用來偵測車輪是否轉動的硬體裝置是由BOSCH所供應,因為BOSCH原本就是防滑控制系統的硬體供應商,防滑控制系統的基礎運作原理便是偵測四顆輪子同時的轉速是否有差異,若有差異時便介入,因此它原本便是有在偵測車輪轉速的裝置。但它只負責偵測輪子是否轉動,廢氣過濾系統是否啟動的部份則是福斯自家的軟體處理。

註三:阿里斯塔克斯的假設

阿里斯塔克斯的假設很簡單,太陽光是平行光!因此地球的影子應該會和地球本體趨近一樣大!

螢幕截圖 2015-10-27 23.20.23

但實際上太陽是個有視直徑的發光盤面,再加上地日間為有限距離,以及繞射的緣故,這些都使的地球實際的本影區並不會和地球的大小一致。

螢幕截圖 2015-10-27 23.20.31

經過計算的結果,在不計繞射的影響下,地球本影區應是月球直徑的2.7倍大(實際地球直徑是月球的3.7倍大),而經由照片量測出的地球陰影則是月球直徑的2.4倍大,看來繞射的影響仍就不可忽略!

註四:月球雷射測距實驗

利用地面大型雷射裝置對準月球之雷射反射板,即可有效接收反射回波,進而測量地月距離,在阿波羅14和16號皆有裝置反射板在月球上,而蘇聯的月球車1號和2號也均有裝置反裝置在車上。

 

 

 

 

 

 


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十月 28th, 2015 by