對號座的座位被人亂坐會怎樣?


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大家好,科宅在此。

我想嘗試在每日一冷寫趣味數學題已經很久了,但是呃~有兩個問題,怎樣的趣味才叫趣味?還有霍金定律:「書裡每出現一個公式,銷路會少一半。」所以一直驚驚不敢不敢。

但幸好我遇到了這題,真的是蠻有趣,總算可以實現夢想啦,一整個熱血!

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題目如下:

一班客運車從台北出發開往高雄 __本列車將停靠西螺站,要轉乘山豬的旅客 請在本站下車__,車上共有 40 張對號座位,售出 40 張對號票。

沒想到,在眾人排隊上車時發生了這種事───

第一個老兄才剛剪完票,走上階梯就撞到頭,產生了 嚴重的健忘症狀 :他忘了他是誰(不過幸好,就本題來說這點不重要),而且也不知自己坐哪,撞到頭兩眼發黑的他也無暇掏出票根查看,於是他就隨機的挑了一個座位坐下。

每當數學題出現「隨機」的時候,追加說明往往是必要的,在這兒所謂隨機是「挑中所有空位的機率相等」。雖然這個假定超不符合現實,因為人必定有偏好,但我們對這位「撞頭哥」的個人喜好:靠窗、走道、角落、越近越好、靠逃生門、遠離引擎.......全然地一無所知,在這種狀況下假設機率是平均的,還算合理

我們再假定站方安檢十分嚴格,前一人就座之後,下一人才能上車。於是第二位乘客、第三位乘客依次上車......因為撞頭哥不曉得占了誰的位,總會有個人上車時發現自己的位子被人坐了,因為夜深人疲累,連句話都不想多說,我們假設大家都很隨和、又急智地解決此事:

「假如座位被占了,我就隨機(同上,均勻公平的)挑一個空位坐唄。」

反之,如果位子沒被占用則大家都乖乖的坐自己的位置。

就像傘如果被幹走了就幹一把不新不舊和原本差不多的就好了,這題也可以改成連環幹傘事件

終於,在這班客運要開走之前五秒鐘(別回眸~~末班車要開了~~),第 40 位乘客姍姍來遲地衝上車:在辦公室受夠了一天的悶氣的志志雄(化名),若是發現自己的位置被占走,他可不會像其他人一樣忍氣吞聲!性格中有刺的他,必定會以此為藉口大幹一架,不殺得客運血流成河不罷休的。

所以問題來了:志志雄的位子被別人坐走,車上發生喋血慘劇的機率有多大?

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血流成河示意圖 [source]

到這邊都很好,沒有任何數學公式吧!

大家可以腦中估計一下,這個機率比較像是多少呢?

欸~第二個人坐那,第三個人坐......矮油,坐來坐去的太多種亂坐的方式啦!

反觀,正確的坐法只有一種,所以喋血應該是幾乎無法避免,也就是機率近乎 1 囉? #宇宙的主宰命運的歸宿就是亂度魔王

不不不,嚴重的漏算了一點,撞頭哥雖然頭昏眼花,但他是有機會誤打誤撞坐到自己正確的位置的。所以如果他在 40 個座位中挑中了正確的位置,即 1/40 的機率,全車人就能好像沒事一樣接著一一對號入座,大家都得救了。所以稍微修正,答案是 1 - 1/40 = 39/40 = 97.5% 囉。

嗯,點解車上有哭聲?

「嗚嗚最討厭數學了。」「都不會算,不知道怎麼代公式。」「要我算排列組合與機率不如一刀砍了我罷。」......

各位呀,米納桑,對不起對不起,科宅絕對會負起責任,把問題解好解滿,而且絕對不用背公式。

數學題的起手式絕對不是拿公式表出來看哪一個可以代,而是化簡題目,看看敘述中什麼是重要,什麼根本不在考慮之列

還記得,在上面聽完題目,開始想像一班客運,然後逐一入坐、中間有的人坐錯,有的人坐對......

過程中,最困難會讓頭腦卡住的的部分是什麼啊?

對了對了,就是「實際上誰坐什麼位置,題目根本沒有說明呀」這樣怎麼想像起撞頭哥、志志雄等人身體該往哪擺。完全不具體嘛,數學都是抽象到令人生厭的東西下略五百字。

別怕,科宅的想像力絕對比大家差,而這一題只要很差、超差的想像力就能解了。事實上想像力越差似乎越不容易被迷惑XD

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巴士坐位示意圖 [來源: 2007 蘋果日報 HK]

題目確實沒有寫每個人的座位。難不成我們需要假設 40 階乘,大約是 0.8 兆兆兆兆種排列組合?

不用擔心~因為就這題的目的而言,坐位的形狀是圓的扁的,有沒有按摩椅、或院線片───全都毫無影響!每個人實際上坐哪我們根本不用操心,因為反正題目中假定了「隨機挑選位置時一視同仁」,也就是說所有位置是等同的。除了第一個上車的人是撞頭哥,最後一個是志志雄,只有這兩個人有特殊地位。

我們甚至可以假想這客運的位置只有一排,第一個上車的人是一號座,第二個是二號座......第 40 個人是 40 號座。數學家通常會耍酷地寫成「不妨假設...」,其實就是「想像力在此無用,我們去掉一點」。

然後,40 這個數字到底有啥特別用意?很難想像耶,沒有特殊意義的話,不如我們先解解看只有十個人的情形好不?

我順手作了一個電腦模擬,並製作兩張示意動畫(醜莫怪,我請不起動新聞團隊XD)

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眼花瞭亂,但基本上一言以蔽之,上圖代表 1 號坐到 9 號,9 號被迫挑空位,剛好坐到 1 號,因此十號坐到自己的位置。安全!

另一個案例

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總結之,上圖是 1 → 2,2 → 3,3 → 8,8 → 10,十號位置被坐走了。雞犬升天。阿彌陀佛。

好好好棒,有圖,而且很整齊順眼。我們能從這兩個模擬範例中觀察到什麼提示

首先:如果十號座被坐走就GG這不用說。但更重要的也許是發現這點

「被迫亂坐的人中,只要有一人碰巧選到 1 號,也就是剛好坐到撞頭哥的座位,大家就安全啦」。

先不用精密的計算,但光是感覺起來,生路就比 1/40 大多了吧?上天有好生之德。

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先簡化再推廣,並觀察規律

科宅曰,↑ 這才是數學的起手式喔。

選擇簡化成 10 個位置只是為了製作動圖時比較美觀,比較好「感覺」這個過程。

事實上我們可以乾脆的簡化為 兩個位置(只有撞頭哥和 Yandere 醬 志志雄)的情況!這下算得清楚了,兩人時的生存機率是 1/2 (只要撞頭哥坐到自己的位子),意外地極大!

三個位置呢?撞頭哥有 1/3 機會坐到正確位置,1/3 坐到志志雄的位置(死,生存機率=0),還有 1/3 坐到 2 號位。我們換個角度想喔,當撞頭哥在 2 號座上昏迷休養的時候,不僅就少一個位置很不方便,而且此時車上的情形不就正等於「只有兩個位置,而 2 號座老兄被抓交替,變成新的撞頭哥」嗎?

上一段中我們已經知道兩個座位的情況生存機率是 1/2 了,在這邊仍然一樣,2 號老兄(已被抓交替)只要在 1、3 兩個位置中,坐到 1 號座位就安全。

因此三個座位的情況,生存機率是 1/3 x 1 + 1/3 x 0 + 1/3 x 1/2 =  1/3 + 1/6 還是 1/2。薑薑薑薑!想不到吧。

四個座位?簡單,如果撞頭哥坐去 3 號座 = 兩個座位的情形(2 號乘客可以正常入座)。若坐到 2 號座 = 三個座位的情形。因此 1/4 x 1 + 1/4 x 1/2 + 1/4 x 1/2 + 1/4 x 0 = 還是 1/2 呀。

心思敏捷的讀者,已經忍不住要寫下高中寫證明題時,看在墨水的份上,有寫有給分的神奇咒語:「根據數學歸納法可知......得證」了!

有N個座位的情形,就等於 1/N + 1/N x (1/2 + 1/2 + ... + 1/2) = 1/N + (N-2)/2N = 1/2

↑共有 N-2 個

結論是不管來幾個人,機率都一樣一半一半,是所謂在到站之前都不能確定乘客的死活,薛丁格的客運來著。

注:這題原始出處,數字居然是給 440 人←多邪惡Rrrrrrrrrr。

pieramid

機率可以用圓餅圖表示。

數學不可怕,可怕的是想太多,還亂想,因而無法發現問題的癥結。我們下次見!


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五月 25th, 2017 by